Home » O konkursie » Przykładowe zadania

Zadanie dla licealistów.

W fabryce zabawek produkowane są szachownice o różnych liczbach pól na planszy. Ostatnio w maszynie produkującej owe szachownice popsuł się programator. Maszyna przyjmuje rozmiar szachownicy, jednak malowanie pól szachownicy odbywa się losowo. Zawsze  malowana jest dokładnie połowa pól, gdyż na tyle tylko wystarcza farby.
Pracownicy fabryki chcieli by wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo że szachownica kwadratowa o boku n będzie poprawnie pomalowana.
Przygotuj program dla pracowników zakładu, gdzie inżynier będzie mógł podać długość boku szachownicy. W odpowiedzi otrzyma prawdopodobieństwo, że zostanie wyprodukowana szachownica o podanym rozmiarze z poprawnie pomalowanymi polami? Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

Przykładowe wejście:

2
10

Przykładowe wyjście:

1/3
1/2475

Zadanie dla studentów studiów pierwszego stopnia

Dwóch kolegów, Piotr i Paweł, często spotykało się wieczorami w pubie. Piotr i Paweł studiowali na dwóch różnych uczelniach. Byli dobrymi studentami, dlatego obaj otrzymywali stypendium. Jednak zdarzało się często, że Piotr nie był w stanie opłacić swojego rachunku i był zmuszony do pożyczania pieniędzy od Pawła. W końcu Paweł się zdenerwował i powiedział, żeby Piotr roztropniej dysponował swoimi pieniędzmi. Piotr odpowiedział, że na jego uczelni są mniejsze stypendia niż na uczelni Pawła, przez co ma mniej pieniędzy niż Paweł. Czy Paweł ma rację?

Napisz program, który dla podanych danych zawierających stypendia na uczelni Piotra i uczelni Pawła, będzie sprawdzał postawioną hipotezę, wiedząc dodatkowe, że oba rozkłady należą do rodziny rozkładów Box’a-Cox’a. W pliku wejściowym może być wiele danych wejściowych. Każdy zestaw danych składa się z dwóch lub więcej linii, przy czym kilka pierwszych linii zawiera dane dotyczące uczelni Piotra a kilka następnych dane dotyczące uczelni Pawła. Dane dotyczące uczelni oddzielone są średnikiem a poszczególne stawki stypendiów na danej uczelni oddzielone są przecinkami. Na wyjściu powinieneś podać 1, gdy uważasz, że Paweł ma rację (stawki stypendiów są równe) lub 0, gdy uważasz, że to Piotr ma rację (stawki stypendiów na jego uczelni są niższe).

Przykładowe wejście:

416.89,202.57,406.49,91.02,43.64,70.,63.89,391.98,446.31,135.89,
489.98,74.36,198.32,88.96,44.64,25.18,39.9,740.66,25.89,113.79;
106.71,922.52,71.72,512.8,658.73,612.82,18.27,147.39,717.31,
2707.58,163.41,191.45,174.37,22.65,91.83,224.35,394.37,400.71,99.67,
993.23,332.97,943.81,377.23,92.81,104.72,641.35,96.78

Przykładowe wyjście:

0

Zadanie dla studentów studiów drugiego stopnia

Pewna firma obsługująca automaty do kawy na terenie naszego kraju postanowiła przeprowadzić analizę mającą na celu poprawę jakości ich usług. Zarząd postanowił, że muszą wyznaczyć taki czas regularnego serwisowania automatów , aby mieć 90% pewności, że od poprzedniego serwisowania automat doprowadzony do stanu identycznego z nowym urządzeniem nie ulegnie awarii, chcą wiedzieć też ile razy taki serwis będzie potrzebny dla przeciętnego urządzenia. W ten sposób niemal całkowicie chcą wyeliminować nieoczekiwane awarie i uzyskać pozycję najbardziej solidnej firmy na rynku. Zatrudniani przez nich inżynierowie oraz specjaliści od marketingu wykonali analizę urządzeń i warunków, w jakich są użytkowane, następnie ustalili cechy modelu, jaki ich zadniem da się opisać czas życia automatów. Niestety, nie potrafią sobie poradzić z rozwiązaniem zadania, dlatego właśnie zwracają się do Ciebie z prośbą o pomoc. Oto co ustalili:

  1. Intensywność awarii każdego urządzenia w ustalonej chwili czasu jest proporcjonalna do liczby osób mających regularnie do niego dostęp, przykładowo pracujących codziennie w jego pobliżu. Zdecydowano opisać go przez zmienną losową N z rozkładu Gamma o średniej i odchyleniu standardowym .
  2. Jako jednostkę skali czasu zdecydowano przyjąć jeden dzień. Zaobserwowano również, że intensywność awarii konkretnego urządzenia pracującego w stałych warunkach (ustalone N) oscyluje. Oscylacje te mają stały okres jednego dnia, ale malejącą amplitudę. Analitycy firmy tłumaczą takie zachowanie tym, że zapotrzebowanie na kawę jest różne w różnych godzinach i to zmienne zapotrzebowanie ma wpływ na działanie urządzeń nowych, natomiast wpływ pory dnia na wystąpienie awarii maleje z wiekiem urządzenia, gdy znaczącą przyczyną potencjalnych awarii urządzenia jest wiek jego komponentów.
  3. Zauważono, że dla długich okresów działania konkretnego urządzenia pracującego w stałych warunkach (ustalone N), intensywność awarii zmierza do pewnej stałej, przez którą jest ograniczona z góry.
  4. W warunkach laboratoryjnych sprawdzono, że urządzenie do którego stały dostęp ma średnio  osób, powinno wytrzymać bez awarii lat.

Na podstawie powyższych punktów, inżynierowie firmy zaproponowali, że warunkowy czas życia T|N określony jest przez intensywność awarii postaci

$$\displaystyle r(t|n) = \frac{n}{a} \left(1-\frac{4+\cos(2\pi t)}{5\sqrt{t+1}}\right),$$

gdzie a jest pewną nieznaną stałą. Wiadomo też, że

$$\displaystyle E[T|N=p]=l\cdot 365.25,$$
$$N\sim\mathcal{G}$,   $\displaystyle E[N]=\mu$   i   $\displaystyle Var[N]=\sigma^2.$$

Napisz program, który oszacuje najmniejszą liczbę $t^*$ taką, że $P(T>t^*)\geq0.90$ oraz wartość $m=\frac{E[N]}{t^*}$. Na wejściu dostaniesz w każdej linii odpowiednio $\mu$, $\sigma$, $l$, $p$. W wyniku podaj odpowiednio czas planowego regulowania automatów $t^*$ oraz $m$, oczekiwaną liczbę takich serwisów.

Przykładowe wejście:

1000 500 100 5

Przykładowe wyjście:

$\alpha$

$$\alpha$$

$$!\alpha$$

\(\aplha\)

25.392998 9.906612

Comments & Responses

2 Responses so far.

  1. Zainteresowany zawodami pisze:

    Dzień Dobry!

    Jeśli to możliwe, prosiłbym o przesłanie kilku zadań z poprzednich edycji na poziomie szkół ponadgimnazjalnych celem przygotowania się do zawodów i wywnioskowania czego można się spodziewać na tegorocznych zawodach.

    Z góry dziękuję!

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *