Zadanie 1. dla licealistów.
W roku 115 n.e. Imperium Rzymskie było u szczytu swojej potęgi. Wojny prowadzone m.in. w Dacji, Arabii, Armenii i w okolicach Zatoki Perskiej zakończyły się spektakularnymi zwycięstwami Rzymian i przyłączeniem wszystkich wspomnianych terenów do obszaru cesarstwa, jako jego prowincji. Sukcesy te Rzym zawdzięczał oczywiście nie tylko wybitemu strategowi, jakim niewątpliwie był władający wówczas imperium cesarz Trajan, ale przede wszystkim doskonale wyszkolonej armii, na której stał czele. Rzymskich chłopców już w wieku 16 lat zaczynano przygotowywać do służby wojskowej. Faktem było również, że kariera wojskowa dawała największe szanse na ugruntowanie pozycji młodego Rzymianina – zarówno społecznej, jak i majątkowej. Jednym z takich ambitnych rzymskich młodzieńców był 18-letni Aulus Marcus. Choć wielogodzinne treningi z mieczem i tarczą w ręku nieraz wyciskały z niego ostatnie krople potu, Aulus przykładał się zawsze do nich wszystkich, wiedząc, że mają go one przygotować do tego, aby w przyszłości zasilić rzymskie legiony. Do ulubionych ćwiczeń Aulusa należał bezwarunkowo rzut włócznią (łac.pilum). Wymagał on bowiem nie tylko fizycznej siły, ale również skupienia i umiejętności technicznych. Ćwiczenie polegało na trafieniu włócznią z odległości kilkudziesięciu metrów w określony cel. Celem tym było zazwyczaj czerwone koło zaznaczone na środku okrągłej tarczy. Prawdopodobieństwo trafienia w tarczę wynosi w przypadku Aulusa s, zaś stosunek promienia całej tarczy do promienia czerwonego koła będącego właściwym celem wynosi d. Aulus przy każdym przystąpieniu do ćwiczenia wykonuje n rzutów. Znając s, d oraz n oblicz prawdopodobieństwo, że przynajmniej połowa rzutów Aulusa zakończy się trafieniem w cel (czerwone koło w środku tarczy), zakładając, że w przypadku trafienia w tarczę, prawdopodobieńtwo trafienia w dowolny jej obszar o zadanej powierzchni jest równe prawdopodbieńtwu trafienia w dowolny inny obszar o tej samej powierzchni (innymi słowy – nie ma na tarczy miejsc w które Aulus trafia częściej, niż w inne).
Przykładowe wejście:
0.5 0.3 10
Przykładowe wyjście:
3.842878017295531e-05
Zadanie 2. dla licealistów.
Przez krainę Nomadii przeszło wiele wojen i bitew. Jednak największa odbyła się w 1184 r. p.n.e. pod Trojadią, gdzie starły się ze sobą wszystkie państwa na kontynencie Nomadzkim. Historycy do dziś spierają się co do tego, co było powodem owej wojny. Według legend spór rozpoczął się przez piękną księżniczkę Helemadię i chęć zdobycia jej ręki. Jednak bardziej prawdopodobnym scenariuszem było przechwycenie tajemnych twierdzeń z rachunku prawdopodobieństwa. Spośród X państw każde myślało, że wygra wojnę lub faktycznie wygrało wojnę lub nie brało udziału w wojnie. A spośród nich faktycznie wygrało wojnę. Spośród B państw, które myślało, ̇ze wygra wojnę, C faktycznie zwyciężyło. Spośród D państw, które nie brało udziału w wojnie, E myślało, że będzie ona dla nich korzystna (tzn. że w pewien sposób myśleli, że „wygrają”, np. liczyli na to, że wygrane państwo podzieli się z nimi zdobyczami wiedzy, ponieważ byli z nimi w dobrych stosunkach), a F spośród tych, co nie brało udziału w wojnie, faktycznie wzbogaciło swą wiedzę z prawdopodobieństwa (wygrało). Ilu było takich Y, którzy nie brali udziału w wojnie, myśleli, że wygrają i faktycznie zwyciężyli?
Linia wejściowa: X, A, B, C, D, E,
Linia wyjściowa: Y
Przykładowe wejście:
10 1 2 3 4 6 5
Przykładowe wyjście:
17
Zadanie 1. dla studentów studiów pierwszego stopnia
W zamierzchłych czasach Nomalandii Gaussus Normalus, nieustraszony podróżnik i botanik, odkrywał nowe wyspy na oceanie Nomadus. Na jednej z wysp nieopodal kryjówki Krakena odkrył bezludną wyspę – jedną z najbardziej wyjątkowych na całej Ziemi. Dziewicza, nigdy nienaruszona przez człowieka przyroda sama się rozwijała. Tam to też ów nieustraszony odkrywca odkrył najpiękniejsze kwiaty, jakie kiedykolwiek widział. Nazwał je Bayesanus Aposteriorus. Jako zapalony botanik od razu zabrał się za badanie nowo odkrytego gatunku kwiatów. Zbadał kilka tysięcy kwiatów i wyniki skrupulatnie zapisywał w swoim notatniku. Po powrocie wyniki przekazał do analizy znanemu statystykowi Nomalandii, który stwierdził czy wyniki pochodzą z rozkładu normalnego. Zadowolony Gaussus chciał pochwalić się swoimi wynikami przed całą Nomaladyjską Akademią Nauk, lecz niestety na krótko przed przemówieniem zgubił kartkę z wynikami otrzymanymi od statystyka. Nie ma ju ̇zczasu na wykonanie nowych analiz, a moment wystąpienia Normalusa nieubłaganie się zbliża. Pomóż naszemu podróżnikowi i napisz program, który na poziomie istotności α=0,05 zweryfikuje hipotezę, że dane pochodzą z rozkładu normalnego, przy alternatywie że pochodzą z innego rozkładu. Na wejściu otrzymasz linię z pomiarami Gaussusa. Niech twój program zwraca 0 gdy została odrzucona hipoteza zerowa, a 1 gdy nie ma podstaw do jej odrzucenia.
Przykładowe wejście:
4.37 3.92 5.75 5.14 3.02 5.76 3.54 4.08 4.43 5.27 6.47 3.55 4.55 3.39 4.99 5.44 4.01 5.30 5.69 5.62 0.11 0.74 2.20 1.94 0.38 3.07 0.19 0.72 0.19 0.63 0.23 0.68 1.34 0.42 0.92 1.29 0.33 2.79 2.30 0.89
Przykładowe wyjście:
1 0
Zadanie 2. dla studentów studiów pierwszego stopnia
Lata za czasów panowania króla Gaussorinia Normalnowkiego w Gaussolandi były bardzo burzliwe… A to wszystko za sprawą dwóch skłóconych rodów – Nomadinów i Gaussoriniów. Pewnego dnia podczas kolacji na dworze króla Gaussorinia, panujący pochwalił ród Nomadinów za ich poświęcenie i oddanie Gaussolandi. W ramach nagrody za zasługi obiecał im nagrodę w wysokości 15 tysięcy gamm. Wieść ta rozwścieczyła Gaussoriniów – najstarszy przedstawiciel rodu postanowił wszcząć wojnę z Nomadinami. Postawił obóz w lesie tak, aby móc z niego po kryjomu atakowować Nomadinów. Ci jednak nie czekali długo i również postanowili postawić obóz w lesie. Zmartwiony całą sytuacją król wysłał na przeszpiegi Nomatajniaczkę, by sprawdziła, jak daleko od siebie są rozłożone obozy wrogów. Ku przerażeniu Nomatajniaczki okazało się, że obozy obu rodów wyglądają tak samo i nie da się ich odróżnić! Na dodatek ktoś co chwilę opuszczał obóz, żeby udać się do szamanki, aby zabrać zioła lecznicze i zapasy żywności! Namotajniaczka miała dopilnować, aby żaden z członków skłóconych rodów nie zbliżył się do siebie zanadto, ponieważ mogłoby to się skończyć tragicznie. Na szczęście wiedziała, że wojownicy nie będą chcieli oddalić się od swoich obozów zbyt daleko. Wiadomo, że odległość od szałasów szamanki, do którego przychodzi się leczyć po urazach, pochodzi z rozkładu N(0,1). Nomatajniaczka niestety dostała od króla absolutny zakaz ujawniania się w jakikolwiek sposób. Na szczęście studiowała statystykę na Collegium de Politechnikum w 456 roku, dlatego skrupulatnie notowała położenie w stosunku do jedynego szałasu szamanki. Nazajutrz przejrzała w kajecie stałych klientów liczbę wizyt Nomadinów i Gaussorninów w szałasie.Wejście dla obu przypadków składa się z dwóch linii. W pierwszej podano p(0 < p < 1), która mówiła, jaką cześć wizyt u szamanki odbyła każda z drużyn. W kolejnej linii znajduje się n liczb oznaczających położenie względem szałasu. Pomóż oszacować Nomatajniaczce odległość między obozami obu rodów.
Przykładowe wejście:
0.48 0.9768504 -1.708878 8.6259 1.725962 -0.1711534 7.8713
Przykładowe wyjście:
2.464199 3.624023
